COMBINACIÓN DE SISTEMAS Y ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL
Cuando a un sistema en su curva de beneficios se le aplica el análisis de regresión lineal, se busca la recta que tenga menor error cuadrático medio.
En la evaluación de sistemas podemos encontrar una variedad amplia de parámetros estadísticos que nos dan una información detallada del comportamiento del sistema. Por ejemplo: Ganancia media anual, porcentaje de aciertos, máximo drawdown histórico, ratios de rentabilidad (ganancia / riesgo) etc. Sin embargo hay una característica muy importante para medir el comportamiento que no queda reflejada en estos parámetros estadísticos simples que es la suavidad de la línea de beneficios.
Si en un gráfico ponemos un punto por cada operación indicando el beneficio o pérdida de ésta y posteriormente trazamos una línea que une todos los puntos obtendremos la línea de beneficios del sistema. La forma ideal de esta línea es que tenga una pendiente constante y recta, es decir que sea lineal. Esta característica de linealidad de la curva tiene implicaciones de tipo psicológico para el inversor y también implicaciones técnicas importantes cuando aplicamos gestión de capital.
Consideremos dos sistemas que llamaremos sistema A y sistema B. Ambos sistemas obtienen unos beneficios aproximados de 9.000 € en un periodo de diez años. En la figuras 1 y 2 podemos observar la curva de beneficios de ambos sistemas. Apreciamos que en ambos casos el máximo DrawDown histórico es similar. Sin embargo, la evolución de estos beneficios a lo largo de estos diez años es diferente.
Un inversor que hubiera optado por el sistema A se hubiera encontrado que en el primer trimestre estaría en ligeras pérdidas, pero a partir del segundo cuatrimestre estaría en beneficios y nunca más en los diez años estaría en pérdidas. En cambio un inversor que hubiera optado por el sistema B se encontraría con pérdidas a lo largo del primer año e incluso no abandonaría la zona de pérdidas hasta el segundo trimestre del segundo año. Psicológicamente es mucho más duro para el inversor del sistema B que para el inversor del sistema A.
Observando el medio plazo de esta inversión, es decir a los cinco años, apreciamos que el sistema A ha obtenido un beneficio de 4.000 € que supone casi la mitad del beneficio total obtenido en los diez años (9.000€). Lo ideal (comportamiento lineal) es que el beneficio hubiera sido de 4.500€.
En cambio en el sistema B observamos que a los cinco años sólo ha obtenido unos 2.000€ que está muy lejos de los 4.500 € que debería haber obtenido para tener un comportamiento lineal.
En los últimos cinco años vemos como el sistema B obtiene mayores beneficios y al final de los diez años ambos sistemas tienen unas ganancias similares.
Desde el punto de vista psicológico, el sistema B es mucho más duro que el sistema A y probablemente un inversor del sistema B se hubiera cambiado al sistema A después de ver los resultados del primer año.
Desde el punto de vista tecnológico de gestión de capital, si vamos reinvirtiendo los beneficios (aumentando el número de contratos), en el sistema A tenemos mayores beneficios durante los primeros años. De esta forma podremos reinvertir más beneficios en los primeros años y por tanto obtener más ganancias totales al cabo de los 10 años que en el sistema B.
El comportamiento ideal es que esta línea de beneficios fuera totalmente recta y con pendiente ascendente. Como esta situación ideal no es posible, lo deseable es que la curva de beneficios sea lo más parecida a una línea recta y esto se consigue mediante el análisis de regresión lineal.
En estadística, a grandes rasgos, el análisis de regresión lineal consiste en: Dado una serie de puntos (en nuestro caso el beneficio obtenido por el sistema en cada instante de tiempo, en azul en la figura 3) intentar encontrar la línea recta que mejor los represente (en rojo en figura 3).
Para saber cómo de bien una línea recta representa a la serie de puntos se utiliza el método de mínimos cuadrados. Este método mide las distancias de cada punto a la recta, la eleva al cuadrado y calcula el promedio de todas ellas. A esto se le llama en estadística “Error cuadrático medio”.
Cuando a un sistema en su curva de beneficios se le aplica el análisis de regresión lineal, se busca la recta que tenga menor error cuadrático medio. Al comparar dos sistemas será mejor el que su curva de beneficios tenga un menor error cuadrático medio, es decir que se parezca más a una recta.
En las figuras 4 y 5 (siguiente página) podemos ver el análisis de regresión lineal para los sistemas A y B respectivamente. Apreciamos que la curva de beneficios del sistema A se acerca más a la línea de regresión (menor error cuadrático medio) que en el sistema B.
Hemos comprobado que es deseable que la curva de beneficios de cualquier sistema de inversión sea lo más parecida a una recta con pendiente positiva o alcista. Pero ¿Cómo podemos conseguir esta característica para los sistemas que diseñamos? Pues, tenemos dos vías para lograrlo: La optimización de parámetros y la combinación de sistemas.
En el proceso de optimización de parámetros podemos añadir como condición adicional un mínimo en el coeficiente de regresión lineal para forzar a que la solución encontrada tenga un mínimo de linealidad y de esta forma imponer a que el sistema final sea como deseamos. Pero este proceso de optimización con restricciones no está disponible en muchas plataformas de Trading y es necesario acudir a sofisticadas herramientas de análisis numérico en matemáticas como por ejemplo Matlab.
La combinación de sistemas es una opción muy utilizada por los traders para conseguir una curva de beneficios con buenos coeficientes de regresión lineal. Consideremos un sistema C que tiene la curva de beneficios representada en la figura 6 junto con la recta de análisis de regresión lineal y un sistema D representado en la figura 7. Ambos sistemas están aplicados a un mismo mercado.
En la figura 8 podemos observar la curva de resultados de la combinación de estos dos sistemas. Vemos como además de tener una mejor recta de análisis de regresión lineal también suaviza los retrocesos o DrawDowns de la curva. Esto es debido a que estos dos sistemas realizan operaciones diferentes y cuando uno tiene una operación negativa, el otro puede tener una operación positiva, compensando de esta forma para reducir los retrocesos o DrawDowns.
Otra forma de combinar sistemas es aplicar un mismo sistema a varios mercados. Es decir se adapta el sistema para que pueda funcionar en otros mercados. Por ejemplo, un sistema seguidor de tendencia sobre el futuro del DAX se puede adaptar para el mercado del futuro del Euro-Dólar. Puede ocurrir que en un momento determinado en el índice DAX no haya tendencia y el sistema entre en DrawDown, pero puede que en la divisa Euro-Dólar sí haya tendencia y el sistema obtiene ganancias compensando las pérdidas en el mercado del futuro de DAX.
La clave importante para la combinación de sistemas es que realicen operaciones diferentes, ya sea porque son dos sistemas totalmente diferentes o porque operan en dos mercados que no están correlacionados. La correlación va a ser el concepto que nos va a indicar la conveniencia de dos sistemas para ser combinados. Y para ello vamos a analizar la correlación entre las curvas de beneficios de ambos sistemas.
En probabilidad y estadística, la correlación indica la fuerza y la dirección de una relación lineal entre dos variables aleatorias. Se considera que dos variables cuantitativas están correlacionadas cuando los valores de una de ellas varían sistemáticamente con respecto a los valores homónimos de la otra: si tenemos dos variables (A y B) existe correlación si al aumentar los valores de A lo hacen también los de B y viceversa. La correlación entre dos variables no implica, por sí misma, ninguna relación de causalidad.
La relación entre dos super variables cuantitativas queda representada mediante la línea de mejor ajuste, trazada a partir de la nube de puntos. Los principales componentes elementales de una correlación, son la fuerza y el sentido. La fuerza extrema según el caso, mide el grado en que la línea representa a la nube de puntos: si la nube es estrecha y alargada, se representa por una línea recta, lo que indica que la relación es fuerte; si la nube de puntos tiene una tendencia elíptica o circular, la relación es débil. El sentido mide la variación de los valores de B con respecto a A: si al crecer los valores de A lo hacen los de B, la relación es positiva; si al crecer los valores de A disminuyen los de B, la relación es negativa.
Existen diversos coeficientes que miden el grado de correlación, adaptados a la naturaleza de los datos. El más conocido es el coeficiente de correlación de Pearson. Así, podemos calcular el coeficiente de correlación de Pearson a la curva de resultados de dos sistemas para averiguar como de parecido es su comportamiento y por tanto su idoneidad para ser combinados.